普段は、「weather =天気」と名詞で使われる事が多いですが、他にも動詞や形容詞の用法があります。

動詞の場合、「乗り切る、切り抜ける、(外気や雨風に)変色する、風化する」
形容詞は、「気象予報用の、気象観測用の」

そのため、weather the storm は、直訳すると「嵐を乗り切る」となり、嵐にあった船が、その場にとどまりながら嵐が通り過ぎさるのを待つ(耐える)ことを表します。
そこから転じて、『困難を乗り越える』という意味で使われます。

●She was able to weather the storm with the support of her colleagues.
彼女は、同僚のサポートで困難を乗り越えることができた。

●Our team has faced many difficult situations, but our team leader has shown great leadership and always made sure we could weather any storm.
私たちのチームは、難しい状況に幾度となく直面してきたが、チームリーダーが素晴らしいリーダーシップを発揮し、どのような困難も乗り越えられるようにしてくれた。

●The team was able to weather the storm and won this season.
そのチームは困難を乗り越えて今季の優勝を勝ち取った。

「嵐=困難」というイメージは日本人でも想像しやすく、意味も覚えやすいイディオムではないでしょうか。